Инженеры часто работают во временной области: в ней формируются электрические сигналы, проводится их анализ, строятся различные графики. Это и неудивительно. Ведь временная область — это реальный мир. Однако часто бывает очень удобно перейти в частотную область. Например, полное сопротивление (импеданс) проще описывается в частотной области. Потери в диэлектриках и проводниках также проще описать в частотной области.
Для преобразования из временной области в частотную используется преобразование Фурье. Результатом преобразования может быть достаточно большой набор частотных составляющих. Для описания наиболее важных элементы сложного сигнала, на практике, ограничиваются несколькими положительными компонентами преобразования Фурье.
Для сигнала во временной области важной характеристикой добротности является время его нарастания. Обычно, это значение в диапазоне 10-90% или 20-80% от его размаха. Форма восходящего фронта сильно влияет на интерпретацию времени нарастания. Чтобы наш результат был осмысленным, нам требуется сделать некоторые предположения. Первое предположение заключается в том, что фронт имеет форму, близкую к гауссовой. Второе предположение — что это отклик однополюсного фильтра. В противном случае, время нарастания имеет неоднозначную интерпретацию.
Соответствующим показателем добротности в частотной области является полоса пропускания. Это еще более неоднозначно. Термин «полоса пропускания» может применяться к подключению, измерению, модели или сигналу. В каждом из этих вариантов он имеет несколько иную интерпретацию.
Мы определим полосу пропускания сигнала в частотной области как наибольшую из значимых частотных составляющих. Мы можем игнорировать все частотные составляющие, выходящие за пределы полосы пропускания, и не потерять никакой ценной информации об отклике во временной области.
В этом и заключается двусмысленность. Что означает «значимая»? Эта двусмысленность означает, что нам нужно с осторожностью толковать термины «пропускная способность» и «время нарастания». Если нам важны точность и детализация информации, то не стоит использовать эти количественные показатели. Вместо этого, при анализе нужно использовать полный объем данных во временной области и полный спектр.
Иногда, нам просто нужно получить приблизительное представление о том, что происходит. В подобных случаях время нарастания и пропускная способность являются полезными показателями, которые дают нам общее представление о поведении сигнала. Существует несколько подходов для установления связи между временем нарастания сигнала во временной области и его полосой пропускания в частотной области.
Для особого сигнала, который является откликом однополюсного фильтра нижних частот, примером которого является RC-фильтр, мы можем аналитически связать время нарастания в диапазоне 10-90% размаха с полосой пропускания. Делается это следующим образом.
Время нарастания и полоса пропускания для однополюсного фильтра
Этот анализ применим к частному случаю для сигнала, который является откликом фильтра нижних частот. Рассмотрим сигнал с идеальным ступенчатым фронтом, который имеет нулевое время нарастания. Пропустим такой сигнал через фильтр нижних частот, являющимся однополюсным RC-фильтром. В этом примере выбран полюс с частотой 10 ГГц, или w0 = 2 x π x 10 град/сек. В нашем случае, RC = 1/w0.
Пример однополюсного фильтра и ступенчатого отклика показан на рисунке 1. Точка -3 дБ в передаточной функции находится на частоте 10 ГГц, как и было задумано.
У нас есть простое аналитическое выражение для формы сигнала от фильтра во временной области, и мы можем рассчитать время нарастания сигнала от 10 до 90% от его размаха. Напряжение на выходе фильтра, равно:
V(t)=1-e^{-t/(RC)}
С помощью несложных преобразований мы можем рассчитать время нарастания в диапазоне 10-90% от размаха, то есть время, необходимое для перехода от 10%-ной точки к 90%-ной точке как:
T_{10-90\%} = \dfrac{1}{\omega_{0}} \times \ln \left( \dfrac{0.9}{0.1} \right) = \dfrac{1}{\omega_{0}} \times 2.2 = RC \times 2.2
Это хорошо известное приближение, согласно которому, если у нас есть отклик RC, то время нарастания в диапазоне 10-90% от размаха есть постоянная времени RC с коэффициентом 2,2.
Какова ширина полосы пропускания сигнала в частотной области? Здесь мы произвольно определим полосу пропускания как точку -3 дБ фильтра. Это частота, на которой амплитуда сигнала, проходящего через фильтр, снижается до 70% от амплитуды входящего сигнала. Более высокие частоты ослабляются еще сильнее.
Действительно ли -3 дБ — это хороший показатель для полосы пропускания сигнала, ограниченной этим фильтром? Это зависит от наших требований.
Если мы используем однополюсный фильтр для удаления всех компонентов сигнала выше 2,5 ГГц, чтобы предотвратить помехи в работе Bluetooth-приёмника, и входной сигнал равен 1 В, а полюсная частота равна 2,5, то, у нас есть проблема. Нам требуется -100 Дб изоляция в фильтре, а значит нужен, либо гораздо более низкочастотный однополюсный фильтр, либо фильтр гораздо более высокого порядка. В любом случае, значение -3 дБ не является хорошим показателем для ограничения наиболее значимой составляющей частоты.
Но, если нам нужно просто одно число в качестве меры частотных составляющих, которые будут содержать менее 50% энергии, содержащейся в компонентах исходного сигнала, то точка частоты -3 дБ может быть хорошей отправной точкой.
Частота, на которой отклик фильтра снижается на -3 дБ, является частотой полюса, w0/(2 x π). Используя это как показатель качества полосы пропускания сигнала, проходящего через фильтр, зависимость между временем нарастания и шириной полосы пропускания BW выражается:
BW = \dfrac {\omega_{0}}{2 \pi} = \dfrac{2.2}{T_{10-90\%} \times 2 \pi} = \dfrac {0.35}{T_{10-90\%}}
Это часто используемая зависимость между временем нарастания сигнала и его полосой пропускания. Она говорит о том, что если мы хотим грубо измерить самые высокочастотные составляющие сигнала, то это примерно 0,35, деленное на время его нарастания в диапазоне 10-90% от размаха.
Основное предположение заключается в том, что сигнал является откликом однополюсного фильтра, а полоса пропускания — это точка фильтра -3 дБ. Это грубое приближение.
Если вы беспокоитесь о том, должно ли значение 0,35 быть 0,5 или 0,45, то не стоит использовать это приближение. Если ваше приложение чувствительно к гармоническим составляющим вашего сигнала, которые находятся в диапазоне -50 дБ от первой гармоники, то также не используйте это приближение.
Но, если вы хотите быстро оценить самые высокочастотные составляющие сигнала, то это хорошая отправная точка.
Существуют и другие способы оценки связи между полосой пропускания и временем нарастания сигнала. Это лишь один из них.